Black-Scholesモデルにおける株価の表現とコールオプション価格

ブラックショールズモデル下での株価とコールオプション価格を導出する。

株価モデル

次の確率微分方程式で表される確率過程 $S_t$ を(1次元)Black-Scholesモデルと呼ぶ

$dS_t=S_t(bdt+\sigma dB_t)$

$dB_t$ ってなに?

ブラウン運動の微小変分。株のギザギザな動きのモデルである。

この項がないと株価 $S_t$ の動きはもっと滑らかなものになってしまう。¹

確率微分方程式では、微小変分をとる変数は全て確率過程である。

$dt$ も、時間変数 $t$ を確率過程と見ることができるため例外はない。

上の方程式では微小変分は $dt$ と $dB_t$ のみ右辺に現れる。確率微分方程式ではしばしばこの形である。²

(BS)式の大まかな意味は、 $S_t$ の変分は $S_t$ の大きさに相関し、株価のばらつき具合は $\sigma$ に相関するということである。

株価の導出

ここで重要なのは「伊藤の公式」である。

「伊藤の公式」を大まかにいうと半マルチンゲール³ $X_t=X_0+M_t+A_t$ に対し、十分滑らかな関数 $f$ について $f(X_t)$ が次のようにテイラー展開⁴できる。

$$f(X_t)-f(X_0)= \int_0^t f'(X_t) (dM_t+dA_t) + \frac{1}{2}\int_0^t f''(X_t) d<M_t>$$

< $M_t$ >に関しては下の³を要参照。微分方程式の形にすると次のようになる。

$$df(X_t)=\frac{\partial f}{\partial X_t}dX_t=f'(X_t) (dM_t+dA_t) + \frac{1}{2} f''(X_t) d<M_t>$$

後知恵だが、次がBlack-Scholesモデル下での株価の解になる。⁵

$S_t=S_0 e^{(b-\frac{1}{2} \sigma^2)t + \sigma B_t}$

これが解になることを確かめよう。

$S_t$ を上で与えられるものとし、これを $t,B_t$ の関数とみる。

すなわち、 $S_t=f(t,B_t)$ とし、伊藤の公式より、

$$dS_t=df(B_t)+f_tdt=f'(B_t)dB_t + \frac{1}{2} f''(B_t) dt + f_tdt$$

ただし、 $f_t$ で $f$ の $t$ による偏微分を表すとする。

右辺1,2,3項目はそれぞれ $\sigma S_t dB_t$ , $\frac{1}{2}\sigma^2 S_t dt$ , $(b-\frac{1}{2}\sigma^2)S_tdt$ より、これを足して(BS)式を得る。

コールオプション価格の導出

Black-Scholes偏微分方程式を導出し、Feynmann-Kacという~~チート~~便利な公式を利用し、解を求める。

Black-Scholes偏微分方程式

時刻 $t$ に $S_t$ を買うコールオプション価格(時刻 $T$ に株を価格 $K$ で買える権利)を $t,S_t$ の関数とし、 $u(t,S_t)$ と表す。

伊藤の公式とBSより、 $du=(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial S_t}bS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial S_t^2}\sigma^2 S_t^2)dt+\frac{\partial u}{\partial S_t}\sigma S_t dB_t$

ここで市場が無裁定であることを仮定する。簡単な考察⁶により上から次が成り立つ。

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial S_t}rS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial S_t^2}\sigma^2 S_t^2-ru=0$

これをBlack-Scholes偏微分方程式という。

Feynmann-Kacの公式

次がFeynmann-Kacの公式⁷である。

$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial x}px+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}q^2 x^2 -ru=0$$

$$u(T,x)=f(x)$$ なる微分方程式に対し、

$$u(s,x)=E[e^{-\int_0^{T-s}rdt}f(X_{T-s}^x)]$$

ただし、 $X_t^x$ とは、

$dX_t=pX_t dt + qX_t dB_t (X_0=x)$

の解である。

このINITはBSに他ならない。

なので先程の株価の式を代入しよう。すると

$u(s,x)=E[e^{-(T-s)r}f(xe^{(r-\frac{1}{2} \sigma^2)(T-s) + \sigma B_{T-s}})$ ]

今、 $u(T,x)=f(x)$ は終端条件で $K$ < $x$ なら買うことを考えると $f(x)=max(x-K,0)$

あとはごりごり計算するのみである⁸。よって上の式は以下のようになる。

$u(s,x)=x\int_{-\infty}^{d_1}p(z)dz-Ke^{-r(T-t)}\int_{-\infty}^{d_2}p(z)dz$

つまり、求めるコールオプションの価格は $u(t,S_t)$ なので

$u(t,S_t)=S_t\int_{-\infty}^{d_1}p(z)dz-Ke^{-r(T-t)}\int_{-\infty}^{d_2}p(z)dz$

正規分布の累積分布関数を $\Phi(x)$ と書くと、

$u(t,S_t)=S_t\Phi(d_1)-Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2)$

ただし $d_1,d_2$ は8参照。

以上である。

参考文献では刻々と変化する国債(リスクフリー資産)を考慮しインフレ補正のためのデフレーターを導入していた。

今回は簡単のためインフレ率rが定数の場合を考え、また1種類のリスクフリーでない株価のみの場合を扱った。

反省

簡潔にしようと心がけたが、わかりにくい

読んだ人に時間返せと言われそうなクオリティで辛い。次は図とか利用してまとめたい。

Feynmann-Kacを使いたくてたまらなかったため今回は使いましたが、もっと初等的なやり方(熱核の重ね合わせ)で解が求まります。

Feynmann-Kacが有用なのは微分方程式が非線形なときなので、今回は正直うまみがありません。

確率微分方程式は、次はFeynmann-Kacの証明かMalliavin解析の本読むか、どちらかをします。

明日は勉強しているフランス語か代数幾何か民法の記事書きます。

参考文献

長井　英生 (1999-2003) 『確率微分方程式』共立出版.

2~5章を主に参考にした。

神戸大講義資料http://www.na.scitec.kobe-u.ac.jp/~yamamoto/lectures/special_lecture_IIc/special_lecture_IIc_091021.PDF.

4章あたりを大いに参考にした。

1.正確にいうと、確定的なものになってしまう。( $dB_t$ の項があるときは確率的なものになる)

2.もちろん例外もたくさん作れるが、次の定理で下記の半マルチンゲールのマルチンゲール部分は本質的に $dB_t$ を考えることに帰着する。

$B_t$ をブラウン運動とする。 $M_t$ を $L^2$ マルチンゲールとすると、ある確率過程 $X_t$ が存在し、

$$M_t=\displaystyle \int_0^t X_s dB_s$$

3.確率過程 $X_t$ が半マルチンゲールであるとは、初期確率変数 $X_0$ , $L^2$ マルチンゲール $M_t$ ,右連続単調増加過程で有限なものの差で表される $A_t$ (これは有界変動になる)に分解できることをいう。

マルチンゲールとは大まかにいうと、ブラウン運動のようにギザギザ動きながらもある箇所での増分はこれまでの路に関係なく、平均すると0になるようなものである。

$A_t$ との注目したい違いは、 $A_t$ は各路が有界変動のためリーマン積分を定義可能であるが、 $M_t$ ではあまりにも変化がばらばらなため破綻することである。

ここで2次変分< $M_t$ >という確率変数に注目する。これは、 $0=t_0$ < $t_1$ < $t_2$ <...< $t_{n-1}$ < $t_n=t$ と区分をとったときの $$\sum_{i=0}^{n-1}(M_{t_{i+1}}-M_{t_i})^2$$ を、区分を細かくしていったときの極限である。

ただでさえ有界変動じゃない(例としてBrown運動はマルチンゲールだが、有界変動ではない。確率1でサンプルパスが無限の変動をもつ)のに、そんな和をとって収束するのかと疑問になるが、これは $L^2$ マルチンゲールに対し収束する。

深く立ち入らないが、この2次変分に注目することが、伊藤の公式において2次の項を打ち切ることを可能にしている。

4.正確にいうと、テイラーの定理で2次の項まで展開したものが $f(X_t)$ に収束しているということである。

確率積分は伊藤積分を想定しているが、ストラトノビッチ積分などでは公式が変わってくる。

5.これが一意の解なのかどうかという問題は重要である。

今回は微分方程式がリプシッツ条件を満たしているため、初期分布 $S_0$ が $L^2$ で可積分なら一意である。

6. $S_t$ を買って確実に儲けることを考える。 $dS_t=bS_t dt+\sigma S_tdB_t$ なので、 $du$ の $dB_t$ の係数が $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial S_t}\sigma S_t$ であることを思い出す。

つまり $d(u-\displaystyle \frac{\partial u}{\partial S_t}S_t) =(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial S_t}bS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial S_t^2}\sigma^2 S_t^2 - \frac{\partial u}{\partial S_t}bS_t)dt = (\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial S_t^2}\sigma^2 S_t^2)dt$

ここで無裁定とは、市場の株の売買で無リスクで儲ける方法があるとき、儲けの率はインフレ率 $r$ にしかならないということと考えられるので(ここ曖昧。誰か詳しく教えてくださる方教えてください)

つまり $d(u-\displaystyle \frac{\partial u}{\partial S_t}S_t) = r(u-\displaystyle \frac{\partial u}{\partial S_t}S_t)dt$

上の式と比較して $r(u-\displaystyle \frac{\partial u}{\partial S_t}S_t)=(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial S_t^2}\sigma^2 S_t^2)$

$\therefore \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial S_t}rS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial S_t^2}\sigma^2 S_t^2-ru=0$

7.正しくは粘性解を求めていることになる。

粘性解が十分滑らかなら解になることが知られている。

個人的な感想ですが僕は確率論と微分方程式を橋渡しするこの公式(伊藤は言わずもがな)大好きです。ただFeynmann-Kacは証明はまだしたことありませんすみません今月中にします。

Feynmann-Kacはもっと一般の形に対して有効である。

$-\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+(L-c)u=g(x)$
$u(T,x)=f(x)$

に対し、 $u(s,x)=E[\displaystyle \int_0^{T-s}e^{\int_0^tc(X_r^x)dr}g(X_t^x)dt+e^{-\int_0^{T-s}c(X_r^x)dr}f(X_{T-s}^x)$ ]

が成り立つ。ただし $L$ は $Lu=b(x)\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\sigma(x)^2$

であり、 $X_t^x$ は

$dX_t=b(X_t)dt+\sigma(X_t)dB_t (X_0=x)$

の解。

今回は特に $g(x)=0$ である。

8.ここでのブラウン運動は0から始まるので、0から始まるブラウン運動の性質として $B_t$ は $N(0,t)$ を分布として持つ。

ただし $N(0,t)$ は平均0,分散 $t$ の正規分布。

つまり $u(s,x)=e^{-(T-s)r}\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(xe^{(r-\frac{1}{2} \sigma^2)(T-s) + \sigma z})\frac{1}{\sqrt{2\pi (T-s)}}e^{-\frac{z^2}{2(T-s)}}dz$

$=e^{-(T-s)r}\displaystyle \int_{-d}^{\infty}(xe^{(r-\frac{1}{2} \sigma^2)(T-s) + \sigma z} - K)\frac{1}{\sqrt{2\pi (T-s)}}e^{-\frac{z^2}{2(T-s)}}dz$

$=\displaystyle xe^{-\frac{1}{2}\sigma^2(T-s)} \int_{-d}^{\infty}e^{\sigma z}\frac{1}{\sqrt{2\pi (T-s)}}e^{-\frac{z^2}{2(T-s)}}dz - Ke^{-(T-s)r}\int_{-d}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi (T-s)}}e^{-\frac{z^2}{2(T-s)}}dz$

$=\displaystyle x \int_{-d}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi (T-s)}}e^{-\frac{(z-\sigma(T-s))^2}{2(T-s)}}dz - Ke^{-(T-s)r}\int_{-d}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi (T-s)}}e^{-\frac{z^2}{2(T-s)}}dz$